Softmax回归

在本节中，我们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 <math>\textstyle y</math> 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）

回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 <math>\textstyle m</math> 个已标记的样本构成：<math>\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}</math> ，其中输入特征<math>x^{(i)} \in \Re^{n+1}</math>。（我们对符号的约定如下：特征向量 <math>\textstyle x</math> 的维度为 <math>\textstyle n+1</math>，其中 <math>\textstyle x_0 = 1</math> 对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 <math>y^{(i)} \in \{0,1\}</math>。假设函数(hypothesis function) 如下：

:<math>\begin{align}

我们将训练模型参数 <math>\textstyle \theta</math>，使其能够最小化代价函数 ：

:<math>

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 <math>\textstyle y</math> 可以取 <math>\textstyle k</math> 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 <math>\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}</math>，我们有 <math>y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}</math>。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 <math>\textstyle k=10</math> 个不同的类别。

 

:<math>

其中 <math>\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}</math> 是模型的参数。请注意 <math>\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } </math>这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 <math>\textstyle \theta</math> 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 <math>\textstyle \theta</math> 用一个 <math>\textstyle k \times(n+1)</math> 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 <math>\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k</math> 按行罗列起来得到的，如下所示：

:<math>

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中，<math>\textstyle 1\{\cdot\}</math> 是示性函数，其取值规则为：

<math>\textstyle 1\{</math> 值为真的表达式 <math>\textstyle \}=1</math>

， <math>\textstyle 1\{</math> 值为假的表达式 <math>\textstyle \}=0</math>。举例来说，表达式 <math>\textstyle 1\{2+2=4\}</math> 的值为1 ，<math>\textstyle 1\{1+1=5\}</math>的值为 0。我们的代价函数为：

:<math>

:<math>

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 <math>\textstyle k</math> 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 <math>\textstyle x</math> 分类为类别 <math>\textstyle j</math> 的概率为：

:<math>

对于 <math>\textstyle J(\theta)</math> 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

:<math>

让我们来回顾一下符号 "<math>\textstyle \nabla_{\theta_j}</math>" 的含义。<math>\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)</math> 本身是一个向量，它的第 <math>\textstyle l</math> 个元素 <math>\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}</math> 是 <math>\textstyle J(\theta)</math>对<math>\textstyle \theta_j</math> 的第 <math>\textstyle l</math> 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 <math>\textstyle J(\theta)</math>。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: <math>\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)</math>(<math>\textstyle j=1,\ldots,k</math>）。

== Softmax回归模型参数化的特点==

 

:<math>

换句话说，从 <math>\textstyle \theta_j</math> 中减去 <math>\textstyle \psi</math> 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 <math>\textstyle h_\theta</math>。

 

:<math>

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 <math>\textstyle J(\theta)</math> 的导数，如下：

 

:<math>

通过最小化 <math>\textstyle J(\theta)</math>，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

 

当类别数 <math>\textstyle k = 2</math> 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 <math>\textstyle k = 2</math> 时，softmax 回归的假设函数为：

:<math>

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 <math>\textstyle \psi = \theta_1</math>，并且从两个参数向量中都减去向量 <math>\textstyle \theta_1</math>，得到:

:<math>

因此，用 <math>\textstyle \theta'</math>来表示<math>\textstyle \theta_2-\theta_1</math>，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 <math>\textstyle \frac{1}{ 1  + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>，另一个类别概率的为 <math>\textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>，这与 logistic回归是一致的。

 

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 <math>k=4</math> 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 <math>k</math> 设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？