Softmax回归
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Softmax回归(Softmax Regression) '''初译''':@knighterzjy '''一审''':@GuitarFang ==简介== 在本节中,我们介绍Softmax回归模型,该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广,在多分类问题中,类标签<math>\textstyle y</math>可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的,该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的,不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。(译者注: MNIST 是一个手写数字识别库,由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ) 回想一下在 logistic 回归中,我们的训练集由<math>\textstyle m</math>个已标记的样本构成:<math>\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}</math> ,其中输入特征<math>x^{(i)} \in \Re^{n+1}</math>。(我们对符号的约定如下:特征向量<math>\textstyle x</math>的维度为<math>\textstyle n+1</math>,其中<math>\textstyle x_0 = 1</math>对应截距项 。)由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记<math>y^{(i)} \in \{0,1\}</math>。假设函数(hypothesis function)如下: <math>\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}</math> 我们将训练模型参数<math>\textstyle \theta</math>,使其能够最小化代价函数 : <math> \begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align} </math> 在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标<math>\textstyle y</math>可以取<math>\textstyle k</math>个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集<math>\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}</math>,我们有<math>y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}</math>。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。例如,在 MNIST 数字识别任务中,我们有<math>\textstyle k=10</math>个不同的类别。 对于给定的测试输入<math>\textstyle x</math>,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值<math>\textstyle p(y=j | x)</math>。也就是说,我们想估计<math>\textstyle x</math>的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个<math>\textstyle k</math>维的向量(向量元素的和为1)来表示这<math>\textstyle k</math>个估计的概率值。 具体地说,我们的假设函数<math>\textstyle h_{\theta}(x)</math>形式如下: <math> \begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align} </math> 其中<math>\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}</math>是模型的参数。请注意 <math>\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } </math>这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1 。 为了方便起见,我们同样使用符号<math>\textstyle \theta</math>来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时,将<math>\textstyle \theta</math> 用一个<math>\textstyle k \times(n+1)</math>的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将<math>\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k</math> 按行罗列起来得到的,如下所示: <math> \theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix} </math> == 代价函数 Cost Function == 现在我们来介绍softmax回归算法的代价函数。在下面的公式中,<math>\textstyle 1\{\cdot\}</math>是示性函数,其取值规则为: <math>\textstyle 1\{</math> 值为真的表达式<math>\textstyle \}=1</math> ,<math>\textstyle 1\{</math> 值为假的表达式<math>\textstyle \}=0</math>。举例来说,表达式<math>\textstyle 1\{2+2=4\}</math>的值为1 ,<math>\textstyle 1\{1+1=5\}</math>的值为 0。我们的代价函数为: <math> \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align} </math> 值得注意的是,上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为: <math> \begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align} </math> 可以看到,Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似,只是在Softmax损失函数中对类标记的<math>\textstyle k</math>个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将<math>\textstyle x</math>分类为类别<math>\textstyle j</math>的概率为: <math> p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} } </math>. 对于<math>\textstyle J(\theta)</math>的最小化问题,目前还没有闭式解法。因此,我们使用迭代的优化算法(例如梯度下降法,或 L-BFGS)。经过求导,我们得到梯度公式如下: <math> \begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align} </math> 让我们来回顾一下符号"<math>\textstyle \nabla_{\theta_j}</math>"的含义。<math>\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)</math>本身是一个向量,它的第<math>\textstyle l</math>个元素<math>\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}</math>是<math>\textstyle J(\theta)</math>对<math>\textstyle \theta_j</math>的第<math>\textstyle l</math>个分量的偏导数。 有了上面的偏导数公式以后,我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中,来最小化<math>\textstyle J(\theta)</math>。 例如,在梯度下降法的标准实现中,每一次迭代需要进行如下更新:<math>\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)</math>(<math>\textstyle j=1,\ldots,k</math>)。 当实现 softmax 回归算法时, 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说,就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。 == softmax回归模型参数化的特点== Softmax回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量<math>\textstyle \theta_j</math>中减去了向量<math>\textstyle \psi</math>,这时,每一个<math>\textstyle \theta_j</math>都变成了<math>\textstyle \theta_j - \psi</math>(<math>\textstyle j=1, \ldots, k</math>)。此时假设函数变成了以下的式子: <math> \begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align} </math> 换句话说,从<math>\textstyle \theta_j</math>中减去<math>\textstyle \psi</math>完全不影响假设函数的预测结果!这表明前面的softmax回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说, Softmax模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数<math>\textstyle h_\theta</math>。 进一步而言,如果参数<math>\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)</math>是代价函数<math>\textstyle J(\theta)</math>的极小值点,那么<math>\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi)</math>同样也是它的极小值点,其中<math>\textstyle \psi</math>可以为任意向量。因此使<math>\textstyle J(\theta)</math>最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于<math>\textstyle J(\theta)</math>仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题) 注意,当<math>\textstyle \psi = \theta_1</math>时,我们总是可以将<math>\textstyle \theta_1</math>替换为<math>\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}</math>(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量<math>\textstyle \theta_1</math>(或者其他<math>\textstyle \theta_j</math>中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的<math>\textstyle k\times(n+1)</math>个参数<math>\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)</math>(其中<math>\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}</math>),我们可以令<math>\textstyle \theta_1 = \vec{0}</math>,只优化剩余的<math>\textstyle (k-1)\times(n+1)</math>个参数,这样算法依然能够正常工作。 在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数<math>\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)</math>,而不任意地将某一参数设置为0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。 ==权重衰减 Weight Decay == '''原文''': We will modify the cost function by adding a weight decay term <math>\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2</math> which penalizes large values of the parameters. Our cost function is now <math> \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align} </math> '''译文''': 我们通过添加一个权重衰减项 <math>\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2</math>来修改损失函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的损失函数变成: <math> \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align} </math> '''一审''': 我们通过添加一个权重衰减项 <math>\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2</math>来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的代价函数变为: <math> \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align} </math> '''原文''': With this weight decay term (for any <math>\lambda > 0</math>), the cost function <math>J(\theta)</math> is now strictly convex, and is guaranteed to have a unique solution. The Hessian is now invertible, and because <math>J(\theta)</math> is convex, algorithms such as gradient descent, L-BFGS, etc. are guaranteed to converge to the global minimum. '''译文''': ( 对于任意的<math>\lambda > 0</math>) ,有了这个权重衰减项以后,损失函数就变成了严格的凸函数,可以保证解唯一了。此时的 Hessian 矩阵不再可逆,因为<math>J(\theta)</math>是凸的,梯度下降和 L-BFGS 之类的算法可以保证收敛到全局最优解。 '''一审''': 有了这个权重衰减项以后 (对于任意的<math>\lambda > 0</math>),代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵 变为可逆矩阵 , 并且因为<math>J(\theta)</math>是凸函数 ,梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。 '''原文''': To apply an optimization algorithm, we also need the derivative of this new definition of <math>J(\theta)</math>. One can show that the derivative is: <math> \begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align} </math> '''译文''': 为了使用优化算法,我们需要求得这个新<math>J(\theta)</math>.函数的导数形式,如下: <math> \begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align} </math> '''一审''': 为了使用优化算法,我们需要求得这个新定义的<math>J(\theta)</math>。函数的导数公式,我们可以得到导数公式如下: <math> \begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align} </math> '''原文''': By minimizing <math>J(\theta)</math> with respect to <math>\theta</math>, we will have a working implementation of softmax regression. '''译文''': 通过最小化<math>J(\theta)</math> ,我们就能实现一个可用的softmax回归模型。 '''一审''': 通过对参数 <math>\theta</math>进行函数<math>J(\theta)</math> 的最小化求解,我们就得到了一个可用的 softmax 回归的实现。 ==Softmax回归与Logistic 回归的关系 Relationship to Logistic Regression == '''原文''': In the special case where <math>k = 2</math>, one can show that softmax regression reduces to logistic regression. This shows that softmax regression is a generalization of logistic regression. Concretely, when <math>k=2</math>, the softmax regression hypothesis outputs <math> \begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align} </math> '''译文''': 当类别数<math>k = 2</math>时,softmax回归退化为logistic回归。这一点表明了softmax回归是logistic回归的推广形式。具体地说,当<math>k = 2</math>时,softmax 回归的假设函数: <math> \begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align} </math> '''一审''': 在类别数<math>k = 2</math>的特例中 ,我们会看到softmax回归退化成了logistic 回归。这一点表明了softmax回归是logistic 回归的 一般化形式。具体地说,当<math>k = 2</math>时,softmax回归的估值函数为 : <math> \begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align} </math> '''原文''': Taking advantage of the fact that this hypothesis is overparameterized and setting <math>\psi = \theta_1</math>, we can subtract <math>\theta_1</math> from each of the two parameters, giving us <math> \begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align} </math> '''译文''': 利用 softmax 回归参数冗余的特点,我们设 <math>\psi = \theta_1</math>,在将<math>\theta_1</math>分别从两个参数中减掉,得到: <math> \begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align} </math> '''一审''': 利用估值函数参数冗余的优势,我们令<math>\psi = \theta_1</math>,并且从两个参数向量中都减去向量<math>\theta_1</math>,得到: <math> \begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align} </math> '''原文''': Thus, replacing <math>\theta_2-\theta_1</math> with a single parameter vector <math>\theta'</math>, we find that softmax regression predicts the probability of one of the classes as <math>\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>, and that of the other class as <math>1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>, same as logistic regression. '''译文''': 然后,将<math>\theta_2-\theta_1</math>用<math>\theta'</math>来表示,我们发现softmax回归预测其中一个类别的概率为 <math>\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>,另一个类别的概率为<math>1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math> ,这与 logistic回归是一致的。 '''一审''': 于是,将<math>\theta_2-\theta_1</math>用<math>\theta'</math>来表示,我们发现softmax回归预测其中一个类别的概率为 <math>\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>,另一个类别的概率为<math>1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</math>,这与 logistic回归是一致的。 ==Softmax 回归 vs. k 个二元分类器 Softmax Regression vs. k Binary Classifiers == '''原文''': Suppose you are working on a music classification application, and there are <math>k</math> types of music that you are trying to recognize. Should you use a softmax classifier, or should you build <math>k</math> separate binary classifiers using logistic regression? '''译文''': 如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对<math>k</math>种类型的音乐进行分类,那么是选择softmax回归直接进行多分类,还是使用 logistic回归进行二分类再进行组合呢? '''一审''': 如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对<math>k</math>种类型的音乐进行识别,那么是选择使用softmax分类器呢,还是使用 logistic回归算法去建立 <math>k</math>个分离的二元分类器呢? '''原文''': This will depend on whether the four classes are ''mutually exclusive.'' For example, if your four classes are classical, country, rock, and jazz, then assuming each of your training examples is labeled with exactly one of these four class labels, you should build a softmax classifier with <math>k=4</math>. (If there're also some examples that are none of the above four classes, then you can set <math>k=5</math> in softmax regression, and also have a fifth, "none of the above," class.) '''译文''': 这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 <math>k=4</math>的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以设置一个类别叫做“其他”,并将类别数 <math>k</math>设为5。) '''一审''': 这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个音乐类别,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签,此时你应该使用类别数<math>k=4</math>的softmax分类器。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以将类别数<math>k</math>设为5,并且设置第五个类别叫做“以上皆否”,) '''原文''': If however your categories are has_vocals, dance, soundtrack, pop, then the classes are not mutually exclusive; for example, there can be a piece of pop music that comes from a soundtrack and in addition has vocals. In this case, it would be more appropriate to build 4 binary logistic regression classifiers. This way, for each new musical piece, your algorithm can separately decide whether it falls into each of the four categories. '''译文''': 如果你的四个类别如下:声乐作品、舞曲、影视原声带、流行歌曲。我们可以看出这些类别之间并不是互斥的:一首歌曲可以是影视原声带,同时也是声乐作品。这种情况下,使用4个二分类的logistic 回归更为合适。这样,对于每一首歌,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 '''一审''': 如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的logistic回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。 '''原文''': Now, consider a computer vision example, where you're trying to classify images into three different classes. (i) Suppose that your classes are indoor_scene, outdoor_urban_scene, and outdoor_wilderness_scene. Would you use softmax regression or three logistic regression classifiers? (ii) Now suppose your classes are indoor_scene, black_and_white_image, and image_has_people. Would you use softmax regression or multiple logistic regression classifiers? '''译文''': 现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个类别中。 (i) 假设这三个类别分别是:室内场景、城区场景、野外场景。你会使用 softmax回归还是3 个logistic回归呢? (ii) 假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会如何选择分类模型? '''一审''': 现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i)假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择softmax回归还是多个logistic回归分类器呢? '''原文''': In the first case, the classes are mutually exclusive, so a softmax regression classifier would be appropriate. In the second case, it would be more appropriate to build three separate logistic regression classifiers. '''译文''': 在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此选择softmax回归更合适。而在第二个例子则应该选择 logistic回归。 '''一审''': 在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
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