用反向传导思想求导

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用反向传导思想求导
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== 简介 ==
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在[[ 反向传导算法 | 反向传导算法 ]]一节中,我们介绍了在稀疏自编码器中用反向传导算法来求梯度的方法。事实证明,反向传导算法与矩阵运算相结合的方法,对于计算复杂矩阵函数(从矩阵到实数的函数,或用符号表示为:从 <math>\mathbb{R}^{r \times c} \rightarrow \mathbb{R}</math> )的梯度是十分强大和直观的。
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首先,我们回顾一下反向传导的思想,为了更适合我们的目的,将其稍作修改呈现于下:
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<ol>
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<li>对第 <math>n_l</math> 层(最后一层)中的每一个输出单元 <math>i</math> ,令
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:<math>
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\delta^{(n_l)}_i
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= \frac{\partial}{\partial z^{(n_l)}_i} \;\;
 +
        J(z^{(n_l)})
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</math>
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其中 <math>J(z)</math> 是我们的“目标函数”(稍后解释)。
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<li>对 <math>l = n_l-1, n_l-2, n_l-3, \ldots, 2</math> ,                                               
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:对第 <math>l</math> 层中的每个节点 <math>i</math> , 令
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::<math>
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\delta^{(l)}_i = \left( \sum_{j=1}^{s_{l+1}} W^{(l)}_{ji} \delta^{(l+1)}_j \right) \bullet \frac{\partial}{\partial z^{(l)}_i} f^{(l)} (z^{(l)}_i)
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</math>                                       
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<li>计算我们要的偏导数
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:<math>
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\begin{align}
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\nabla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y) &= \delta^{(l+1)} (a^{(l)})^T, \\
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\end{align}
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</math>
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</ol>
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符号扼要重述:
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<ul>
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<li><math>l</math> 是神经网络的层数
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<li><math>n_l</math> 第l层神经元的个数
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<li><math>W^{(l)}_{ji}</math> 是 <math>l</math> 层第 <math>i</math> 个节点到第 <math>(l+1)</math> 层第 <math>j</math> 个节点的权重
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<li><math>z^{(l)}_i</math> 是第 <math>l</math> 层第 <math>i</math> 个单元的输入
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<li><math>a^{(l)}_i</math> 是第 <math>l</math> 层第 <math>i</math> 个节点的激励
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<li><math>A \bullet B</math> 是矩阵的Hadamard积或逐个元素乘积,对 <math>r \times c</math> 矩阵 <math>A</math> 和 <math>B</math> ,它们的乘积是 <math>r \times c</math> 矩阵 <math>C = A \bullet B</math> ,即 <math>C_{r, c} = A_{r, c} \cdot B_{r, c}</math>
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<li><math>f^{(l)}</math> 是第 <math>l</math> 层中各单元的激励函数
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</ul>
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假设我们有一个函数 <math>F</math> , <math>F</math> 以矩阵 <math>X</math> 为参数生成一个实数。我们希望用反向传导思想计算 <math>F</math> 关于 <math>X</math> 的梯度,即 <math>\nabla_X F</math> 。大致思路是将函数 <math>F</math> 看成一个多层神经网络,并使用反向传导思想求梯度。
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为了实现这个想法,我们取目标函数为 <math>J(z)</math> ,当计算最后一层神经元的输出时,会产生值 <math>F(X)</math> 。对于中间层,我们将选择激励函数 <math>f^{(l)}</math> 。
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稍后我们会看到,使用这种方法,我们可以很容易计算出对于输入 <math>X</math> 以及网络中任意一个权重的导数。
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== 示例 ==
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为了阐述如何使用反向传导思想计算关于输入的导数,我们要在示例1,示例2中用 [[ 稀疏编码自编码表达 | 稀疏编码 ]] 章节中的两个函数。在示例3中,我们使用[[ 独立成分分析 | 独立成分分析 ]]一节中的一个函数来说明使用此思想计算关于权重的偏导的方法,以及在这种特殊情况下,如何处理相互捆绑或重复的权重。
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=== 示例1:稀疏编码中权重矩阵的目标函数 ===
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回顾一下[[ 稀疏编码自编码表达 | 稀疏编码 ]],当给定特征矩阵 <math>s</math> 时,权重矩阵 <math>A</math> 的目标函数为:
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:<math>F(A; s) = \lVert As - x \rVert_2^2 + \gamma \lVert A \rVert_2^2</math>
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我们希望求 <math>F</math> 对于 <math>A</math> 的梯度,即 <math>\nabla_A F(A)</math> 。因为目标函数是两个含 <math>A</math> 的式子之和,所以它的梯度是每个式子的梯度之和。第二项的梯度很容易求,因此我们只考虑第一项的梯度。
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第一项, <math>\lVert As - x \rVert_2^2</math> ,可以看成一个用 <math>s</math> 做输入的神经网络的实例,通过四步进行计算,文字以及图形描述如下:
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<ol>
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<li>把 <math>A</math> 作为第一层到第二层的权重。
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<li>将第二层的激励减 <math>x</math> ,第二层使用了单位激励函数。
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<li>通过单位权重将结果不变地传到第三层。在第三层使用平方函数作为激励函数。
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<li>将第三层的所有激励相加。
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</ol>
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[[File:Backpropagation Method Example 1.png | 400px]]
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该网络的权重和激励函数如下表所示:
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<table align="center">
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<tr><th width="50px">层</th><th width="200px">权重</th><th width="200px">激励函数 <math>f</math></th></tr>
 +
<tr>
 +
<td>1</td>
 +
<td><math>A</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i</math> (单位函数)</td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>2</td>
 +
<td><math>I</math> (单位向量)</td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i - x_i</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>3</td>
 +
<td>N/A</td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i^2</math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
为了使 <math>J(z^{(3)}) = F(x)</math> ,我们可令 <math>J(z^{(3)}) = \sum_k J(z^{(3)}_k)</math> 。
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一旦我们将 <math>F</math> 看成神经网络,梯度 <math>\nabla_X F</math> 就很容易求了——使用反向传导得到:
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 +
<table align="center">
 +
<tr><th width="50px">层</th><th width="200px">激励函数的导数<math>f'</math></th><th width="200px">Delta</th><th>该层输入<math>z</math></th></tr>
 +
<tr>
 +
<td>3</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 2z_i</math></td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 2z_i</math></td>
 +
<td><math>As - x</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>2</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( I^T \delta^{(3)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>As</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>1</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( A^T \delta^{(2)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>s</math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
因此
 +
 
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\nabla_X F & = A^T I^T 2(As - x) \\
 +
& = A^T 2(As - x)
 +
\end{align}
 +
</math>
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 +
 
 +
=== 示例2:稀疏编码中的平滑地形L1稀疏罚函数 ===
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 +
回顾[[ 稀疏编码自编码表达 | 稀疏编码 ]]一节中对 <math>s</math> 的平滑地形L1稀疏罚函数:
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:<math>\sum{ \sqrt{Vss^T + \epsilon} }</math>
 +
 
 +
其中 <math>V</math> 是分组矩阵, <math>s</math> 是特征矩阵, <math>\epsilon</math> 是一个常数。
 +
 
 +
我们希望求得 <math>\nabla_s \sum{ \sqrt{Vss^T + \epsilon} }</math> 。像上面那样,我们把这一项看做一个神经网络的实例:
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[[File:Backpropagation Method Example 2.png | 600px]]
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 +
该网络的权重和激励函数如下表所示:
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 +
<table align="center">
 +
<tr><th width="50px">层</th><th width="200px">权重</th><th width="200px">激励函数 <math>f</math></th></tr>
 +
<tr>
 +
<td>1</td>
 +
<td><math>I</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i^2</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>2</td>
 +
<td><math>V</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>3</td>
 +
<td><math>I</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i + \epsilon</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>4</td>
 +
<td>N/A</td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i^{\frac{1}{2}}</math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
为使 <math>J(z^{(4)}) = F(x)</math> ,我们可令 <math>J(z^{(4)}) = \sum_k J(z^{(4)}_k)</math> 。
 +
 
 +
一旦我们把 <math>F</math> 看做一个神经网络,梯度 <math>\nabla_X F</math> 变得很容易计算——使用反向传导得到:
 +
 
 +
<table align="center">
 +
<tr><th width="50px">层</th><th width="200px">激励函数的导数 <math>f'</math>
 +
</th><th width="200px">Delta</th><th>该层输入<math>z</math></th></tr>
 +
<tr>
 +
<td>4</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = \frac{1}{2} z_i^{-\frac{1}{2}}</math></td>
 +
<td><math>f'(z_i) = \frac{1}{2} z_i^{-\frac{1}{2}}</math></td>
 +
<td><math>(Vss^T + \epsilon)</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>3</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( I^T \delta^{(4)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>Vss^T</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>2</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( V^T \delta^{(3)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>ss^T</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>1</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 2z_i</math></td>
 +
<td><math>\left( I^T \delta^{(2)} \right) \bullet 2s</math></td>
 +
<td><math>s</math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
因此
 +
 
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\nabla_X F & = I^T V^T I^T \frac{1}{2}(Vss^T + \epsilon)^{-\frac{1}{2}} \bullet 2s \\
 +
& = V^T \frac{1}{2}(Vss^T + \epsilon)^{-\frac{1}{2}} \bullet 2s \\
 +
& = V^T (Vss^T + \epsilon)^{-\frac{1}{2}} \bullet s
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
=== 示例3:ICA重建代价 ===
 +
 
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回顾 [[ 独立成分分析 | 独立成分分析(ICA) ]]一节重建代价一项: <math>\lVert W^TWx - x \rVert_2^2</math> ,其中 <math>W</math> 是权重矩阵, <math>x</math> 是输入。
 +
 
 +
我们希望计算 <math>\nabla_W \lVert W^TWx - x \rVert_2^2</math> ——对于'''权重矩阵'''的导数,而不是像前两例中对于'''输入'''的导数。不过我们仍然用类似的方法处理,把该项看做一个神经网络的实例:
 +
 
 +
[[File:Backpropagation Method Example 3.png | 400px]]
 +
 
 +
 
 +
该网络的权重和激励函数如下表所示:
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 +
<table align="center">
 +
<tr><th width="50px">层</th><th width="200px">权重</th><th width="200px">激励函数 <math>f</math></th></tr>
 +
<tr>
 +
<td>1</td>
 +
<td><math>W</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>2</td>
 +
<td><math>W^T</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>3</td>
 +
<td><math>I</math></td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i - x_i</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>4</td>
 +
<td>N/A</td>
 +
<td><math>f(z_i) = z_i^2</math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
为使 <math>J(z^{(4)}) = F(x)</math> ,我们可令 <math>J(z^{(4)}) = \sum_k J(z^{(4)}_k)</math> 。
 +
 
 +
既然我们可将 <math>F</math> 看做神经网络,我们就能计算出梯度 <math>\nabla_W F</math> 。然而,我们现在面临的难题是 <math>W</math> 在网络中出现了两次。幸运的是,可以证明如果 <math>W</math> 在网络中出现多次,那么对于 <math>W</math> 的梯度是对网络中每个 <math>W</math> 实例的梯度的简单相加(你需要自己给出对这一事实的严格证明来说服自己)。知道这一点后,我们将首先计算delta:
 +
 
 +
<table align="center">
 +
<tr><th width="50px">层</th><th width="200px">激励函数的导数 <math>f'</math>
 +
</th><th width="200px">Delta</th><th>该层输入<math>z</math></th></tr>
 +
<tr>
 +
<td>4</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 2z_i</math></td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 2z_i</math></td>
 +
<td><math>(W^TWx - x)</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>3</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( I^T \delta^{(4)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>W^TWx</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>2</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( (W^T)^T \delta^{(3)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>Wx</math></td>
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
<td>1</td>
 +
<td><math>f'(z_i) = 1</math></td>
 +
<td><math>\left( W^T \delta^{(2)} \right) \bullet 1</math></td>
 +
<td><math>x</math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
为计算对于 <math>W</math> 的梯度,首先计算对网络中每个 <math>W</math> 实例的梯度。
 +
 
 +
对于 <math>W^T</math> :
 +
 
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\nabla_{W^T} F & = \delta^{(3)} a^{(2)T} \\
 +
& = 2(W^TWx - x) (Wx)^T
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 
 +
对于 <math>W</math> :
 +
 
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\nabla_{W} F & = \delta^{(2)} a^{(1)T} \\
 +
& = (W^T)(2(W^TWx -x)) x^T
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 
 +
最后进行求和,得到对于 <math>W</math> 的最终梯度,注意我们需要对 <math>W^T</math> 梯度进行转置,来得到关于 <math>W</math> 的梯度(原谅我在这里稍稍滥用了符号):
 +
 
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\nabla_{W} F & = \nabla_{W} F + (\nabla_{W^T} F)^T \\
 +
& = (W^T)(2(W^TWx -x)) x^T + 2(Wx)(W^TWx - x)^T
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
==中英文对照==
 +
 
 +
:反向传导 backpropagation
 +
:稀疏编码 sparse coding
 +
:权重矩阵 weight matrix
 +
:目标函数 objective
 +
:平滑地形L1稀疏罚函数 Smoothed topographic L1 sparsity penalty
 +
:重建代价 reconstruction cost
 +
:稀疏自编码器 sparse autoencoder
 +
:梯度 gradient
 +
:神经网络 neural network
 +
:神经元 neuron
 +
:激励 activation
 +
:激励函数 activation function
 +
:独立成分分析 independent component analysis
 +
:单位激励函数 identity activation function
 +
:平方函数 square function
 +
:分组矩阵 grouping matrix
 +
:特征矩阵 feature matrix
 +
 
 +
 
 +
 
 +
==中文译者==
 +
 
 +
葛燕儒(yrgehi@gmail.com),  顾祺龙(ggnle@hotmail.com),  李良玥(jackiey99@gmail.com),  王方(fangkey@gmail.com)
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{{Languages|Deriving_gradients_using_the_backpropagation_idea|English}}

Latest revision as of 09:53, 8 April 2013

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