独立成分分析
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独立成分分析(Independent Component Analysis) '''初译''':@袁贞明 '''一审''':@晓风_机器学习 '''终审''':@大黄蜂的思索 == 概述 == 试着回想一下,在介绍[[Sparse Coding | 稀疏编码算法]]中我们想为样本数据学习得到一个超完备基(over-complete basis)。具体来说,这意味着用稀疏编码学习得到的基向量之间不一定线性独立。尽管在某些情况下这已经满足需要,但有时我们仍然希望得到的是一组线性独立基。独立成分分析算法(ICA)正实现了这一点。而且,在ICA中,我们希望学习到的基不仅要线性独立,而且还是一组标准正交基。(一组标准正交基<math>(\phi_1, \ldots \phi_n)</math>需要满足条件:<math>\phi_i \cdot \phi_j = 0</math>(如果<math>i \ne j</math>)或者<math>\phi_i \cdot \phi_j = 1</math>(如果<math>i = j</math>)) 与稀疏编码算法类似,独立成分分析也有一个简单的数学形式。给定数据x,我们希望学习得到一组基向量――以列向量形式构成的矩阵<math>W</math>,其满足以下特点:首先,与稀疏编码一样,特征是稀疏的;其次,基是标准正交的(注意,在稀疏编码中,矩阵<math>A</math>用于将特征<math>s</math>映射到原始数据,而在独立成分分析中,矩阵<math>W</math>工作的方向相反,是将原始数据<math>x</math>映射到特征)。这样我们得到以下目标函数: :<math> J(W) = \lVert Wx \rVert_1 </math> 由于<math>Wx</math>实际上是描述样本数据的特征,这个目标函数等价于在稀疏编码中特征<math>s</math>的稀疏惩罚项。加入标准正交性约束后,独立成分分析相当于求解如下优化问题: :<math> \begin{array}{rcl} {\rm minimize} & \lVert Wx \rVert_1 \\ {\rm s.t.} & WW^T = I \\ \end{array} </math> 与深度学习中的通常情况一样,这个问题没有简单的解析解,而且更糟糕的是,由于标准正交性约束,使得用梯度下降方法来求解该问题变得更加困难――每次梯度下降迭代之后,必须将新的基映射回正交基空间中(以此保证正交性约束)。 实践中,在最优化目标函数的同时施加正交性约束(如下一节[[Independent Component Analysis#Orthonormal ICA | 正交ICA]]中讲到的)是可行的,但是速度慢。在标准正交基是不可或缺的情况下,标准正交ICA的使用会受到一些限制。(哪些情况见:[[TODO]] ) == 标准正交ICA == 标准正交ICA的目标函数是: :<math> \begin{array}{rcl} {\rm minimize} & \lVert Wx \rVert_1 \\ {\rm s.t.} & WW^T = I \\ \end{array} </math> 通过观察可知,约束<math>WW^T = I</math>隐含着另外两个约束: 第一,因为要学习到一组标准正交基,所以基向量的个数必须小于输入数据的维度。具体来说,这意味着不能像通常在稀疏编码中所做的那样来学习得到超完备基(over-complete bases)。 第二,数据必须经过无正则ZCA白化(也即,<math>\epsilon</math>设为0)。(为什么必须这样做?见[[TODO]]) 因此,在优化标准正交ICA目标函数之前,必须确保数据被白化过,并且学习的是一组不完备基(under-complete basis)。 然后,为了优化目标函数,我们可以使用梯度下降法,在梯度下降的每一步中增加投影步骤,以满足标准正交约束。过程如下: 重复以下步骤直到完成: <ol> <li><math>W \leftarrow W - \alpha \nabla_W \lVert Wx \rVert_1</math> <li><math>W \leftarrow \operatorname{proj}_U W</math>, 其中<math>U</math>是满足<math>WW^T = I</math>的矩阵空间 </ol> 在实际中,学习速率<math>\alpha</math>是可变的,使用一个线搜索算法来加速梯度.投影步骤通过设置<math>W \leftarrow (WW^T)^{-\frac{1}{2}} W</math>来完成,这实际上可以看成就是ZCA白化([[TODO]]:解释为什么这就象ZCA白化). == 拓扑ICA == 与稀疏编码算法类似,加上一个拓扑代价项,独立成分分析法可以修改成具有拓扑性质的算法。
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